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因子（いんし; divisor）とは、代数幾何学や複素幾何学において、代数多様体（または複素解析空間）の余次元1の部分多様体の形式的有限和のことをいう。因子は、代数多様体や解析空間上の有理関数あるいは有理型関数の極や零点の分布を表すために用いられる（概説参照）。線形同値な因子の空間である線形系を考えることは、射影空間への有理写像を考えることと1対1に対応しているので、代数多様体（または複素解析空間）の代数幾何的な性質・情報を取り出すときに欠かせない概念である。 ==概説== 因子が代数幾何（あるいは複素幾何）で演じる役割については、代数曲線（あるいは、コンパクトなリーマン面）の場合を見ればおおよそ理解する事が出来る。''C'' を代数関数 ''f''(''z''1 , ''z''2) = 0 から定まるコンパクトリーマン面（あるいは、''f''(''z''1 , ''z''2) = 0 で定まる平面曲線の特異点解消）とするとき、''C'' 上の有理型関数全体（あるいは、代数関数全体）''M''(''C'') は、1変数有理関数体 ''K'' = C(''z''1) の ''f'' による拡大 ''K'' / (f) と同型である事がわかる。特に、''C'' 上の有理型関数全体 ''M''(''C'') は C 上のベクトル空間として無限次元である。''M''(''C'') は体論的に明確な形で既述される体であるとはいえ、コンパクトリーマン面の幾何的な性質を調べるには不十分である。 例えば、ひとつの重要な問題としては、任意にコンパクトリーマン面 ''C'' を与えたときに、''M''(''C'') に複素定数でない元が含まれるか、すなわち ''C'' 上に自明でない有理型関数が存在するか、という問題がある（コンパクトリーマン面の代数性、GAGA参照）。この問題は、より強く、''C'' 上のある 1点 ''P'' に極を許し、その他の点では正則な有理型関数が存在できるか、という問題と同値である。''C'' 上 ''P'' のみに極を持つ有理型関数の全体を ''R''(''P'') とすると、これは ''M''(''C'') の部分環になるが、結論から言うとこれも C 上有限次元にはならない。ところが、''P''に高々 ''n'' 位の極をもち、他の点では正則な有理型関数全体を ''L''(''nP'') で表すと であるが、''L''(''nP'') は ''C'' 上有限次元のベクトル空間になる。0 でない有理型関数 ''f'' に対して、点 ''P'' での位数 ''v''''P''(''f'') を、''f'' が点 ''P'' で ''n'' 位の零点を持つとき ''n'' 、''n'' 位の極を持つとき -''n'' と定める（ ''f'' = 0 の時は、全ての ''P'' に対して ''v''''P''(''f'') = +∞ と約束する）。''D'' を''C'' 上の有限個の点の整数係数の型式和 ''n''1''P''1 + ... + ''n''''m''''P''''m'' に対しても、同語反復的に ''v''P(''D'') を ''P'' = ''Pi'' のとき ''ni'' 、''P'' がどの ''Pi'' とも一致しないときは 0 と定める。そして、 : とおくと、これは ''L''(''nP'') の一般化になっており、このベクトル空間はいつでも C 上有限次元になる。ここに現れた ''D'' が ''C'' 上の因子である。 リーマン・ロッホの定理によれば、ある種の場合 ''L''(''D'') の次元は明示的に計算可能である。''C'' の種数 が 0 の時には、空間 ''L''(''nP'') の次元は ''n'' が非負のとき ''n'' + 1 次元になる事が分かり、特に ''n'' =1 のときを見ると ''C'' には1位の極をひとつだけもった有理型関数（すなわちリーマン球面 への正則写像）が存在する事になるので、''C'' は常に と同型になる事がわかる。種数が 1 の時には、 ''L''(''nP'') の次元が ''n'' が正の時 ''n'' になることがわかる。従って、種数が 1 のコンパクトリーマン面上にはある 1 点に極を持つ定数でない有理型関数はその極の位数が 2 の時に初めて現れる（これを ''f'' とおく）ことがわかり、これとは1次独立なもの ''g'' が位数が 3 の時にもひとつ存在することもわかる。すなわち、''L''(3''P'') は 1 , ''f'' , ''g'' の 3つで C 上張られるベクトル空間である。対応 : は正則写像 ''C'' → を定める。さらに、''L''(6''P'') をみれば 、これら2つの有理型関数はある2変数の3次式 ''F''(''z''1 , ''z''2) に対して ''F''(''f'' , ''g'')=0 となる、つまり、上記正則写像の像が3次曲線 ''F'' = 0 に含まれている事もわかる。このようにして、種数 1 のコンパクトリーマン面は、平面上の3次曲線に対応していることがわかり、ここで現れた位数が 2 の極を持つ有理型関数 ''f'' はワイエルシュトラスのペー関数に他ならない。 このように、与えられた多様体に対して、その上の因子 ''D'' と、それから定まる有理型関数の空間 ''L''(''D'') （特にその次元）は多くの幾何学的情報を含んでいるのであり、特に、射影多様体の射影空間への正則写像（一般には有理写像）を考える事と ''L''(''D'') を考える事は同値である。コンパクトな（固有な）代数多様体上では空間 ''L''(''D'') が有限次元のベクトル空間になる事から、正則写像を調べる問題を有限次元のベクトル空間のマニピュレーションに帰着できるのである。 抄文引用元・出典: フリー百科事典『 ウィキペディア（Wikipedia）』 ■ウィキペディアで「因子 (代数幾何学)」の詳細全文を読む スポンサード リンク
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